Layout: Petra Schag
Abstract
"Die Arbeit behandelt eine Weiterentwicklung des linearen Programmierungsansatzes aus Helmes [4], Röhl [6] und der darin zitierten Literatur. Während in bisherigen Arbeiten zu diesem Ansatz nur Fälle betrachtet werden, in denen die Trägermengen der Maße Intervalle, Rechtecke oder Einheitsdreiecke (auch höherdimensional) sind, hat Herr Decker in der vorliegenden Arbeit die Eckpunkte für verallgemeinerte Dale-Polytope (d.h. für Momente von Maßen auf allgemeinen Dreiecken) charakterisiert und explizite Formeln abgeleitet, vgl. Kap. 2, und für die numerische Untersuchung unterschiedlichster Aufgaben, vgl. Kap. 3–7, genutzt.
Die Arbeit ist wie folgt aufgebaut: In Teil I der Arbeit (Kapitel 1–4) werden Charakterisierungen und Anwendungen von Momentenfolgen von Maßen, deren Träger gradlinig begrenzte Gebiete sind, angegeben, bewiesen und sorgfältig auf ihre Güte für numerische Berechnungen untersucht. Teil II (Kapitel 5–7) beinhaltet die Charakterisierungen und die Untersuchungen im Zusammenhang mit wichtigen praktischen Anwendungen für den Fall, dass Momentenfolgen von Maßen mit krummlinig berandeten Trägermengen zu betrachten sind.
Kapitel 1 ist vorbereitend für Kapitel 2, in welchem das grundlegende theoretische Resultat der Dissertation, Theorem 2.2, formuliert und bewiesen wird. Die wichtige Bemerkung 2.3, siehe § 2.3, präsentiert u.a., wie dieses Resultat genutzt werden kann, um ausgehend von der Lösung entsprechender LP-Modelle optimale Stoppregeln abzuleiten. Die Kapitel 3 und 4 stellen unterschiedlichste direkte Anwendungen dieses Resultats vor, z. B. die Berechnung der mittleren Austrittszeit einer Brownschen Bewegung aus einem allgemeinen Dreieck, speziell aus einem gleichseitigen Dreieck, vgl. dazu das analytische Resultat in Alabert et al. [1], die mittlere Austrittszeit aus einem beliebigen Viereck durch Triangulation und die mittlere Austrittszeit aus einem Tetraeder. Ferner dokumentiert Herr Decker erstmalig den LP-Ansatz im Zusammenhang mit partiellen Randwertproblemen, vgl. § 3.3, der Lösung polynomialer Nullsummenspiele auf Vielecken und des Austrittsproblems der Brownschen Bewegung aus einem Parabelsegment und dem Kreis.
Beginnend mit Kapitel 5 erweitert Herr Decker seine Analysen auf Trägermengen von Maßen auf bestimmten parametrisch beschriebenen krummlinig begrenzten Gebieten in der Ebene. Für solche Gebiete entwickelt Herr Decker ausgehend von theoretischen Aussagen in Stockbridge [7] endlich-dimensionale lineare Programme, um z.B. wiederum mittlere Austrittszeiten numerisch zu bestimmen. Speziell für das Parabelsegment, vgl. 6.1.3, ist neben den allgemeinen Charakterisierungen, die aus den Stockbridgeschen Ergebnissen abgeleitet werden, Deckers Charakterisierung der Momente durch eine polynomiale Transformation hervorzuheben, weil diese sowohl innovativ als auch effizient ist, vgl. 6.1.4.
Deckers Arbeit endet mit der numerischen Untersuchung des sequentiellen Bayes’schen Testproblems einer Brownschen Bewegung mit Drift null oder eins und endlichem Zeithorizont. Der Fall mit beschränktem Zeithorizont ist sowohl analytisch als auch numerisch sehr viel schwieriger zu erfassen als der in [3] betrachtete Fall mit unendlichem Zeithorizont. Für den Fall ohne explizite Zeitschranke genügt es, ein 1-dimensionales Stoppproblem zu lösen, während es in dem im Kapitel 7 untersuchten Fall darum geht, für ein 2-dimensionales Problem eine optimale Stoppkurve zu bestimmen. Ausgehend von den analytischen Ergebnissen von Gapeev und Peskir [2] und ergänzt um die nützliche Beobachtung von Decker, s. Lemma 7.1, S. 99 ff., berechnet er zum einen eine approximative Lösung des Stoppproblems mittels diskreter dynamischer Optimierung, vgl. § 7.1, zum anderen zeigt er in § 7.2 und speziell in § 7.3, wie man mit den in seiner Dissertation entwickelten Methoden die optimale Stoppkurve in einer Klasse parametrisierter Regeln finden kann.
Herr Decker hat eine ausgezeichnete Dissertationsarbeit geschrieben, in der er nicht nur die theoretischen Grundlagen für den LP-Ansatz erweitert, sondern auch unterschiedlichste Anwendungsprobleme mit dieser numerischen Technik gelöst hat. Die kleine ausgewählte Sammlung von Programmen im Anhang vermittelt einen Eindruck vom Umfang der numerischen Untersuchungen und dokumentiert darüber hinaus die effiziente Umsetzung der vielen Ideen und Überlegungen, die in dieser Arbeit stecken und sorgfältig umgesetzt worden sind."
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